लेखक: अभिषेक जायसवाल, गणित फैकल्टी, प्रमाण इंस्टिट्यूट (IIT रुड़की, JEE पढ़ाने का 18 साल का अनुभव)
वेक्टर JEE Main के सबसे भरोसेमंद चैप्टरों में से है: प्रकाशित गिनती के अनुसार इससे हर साल लगभग दो सवाल आते हैं, गणित के लगभग हर दूसरे चैप्टर से ज़्यादा। सवाल शायद ही कठिन होते हैं। वे यह परखते हैं कि आप सही प्रोडक्ट (डॉट, क्रॉस या ट्रिपल) चुनते हैं और बिना चिह्न की गलती के लगाते हैं। नीचे के सूत्र एक सेट की तरह याद करें, तो यह चैप्टर पेपर के सबसे तेज़ अंक देता है।
मूल बातें
| राशि | सूत्र (a = a₁i + a₂j + a₃k के लिए) |
|---|---|
| परिमाण | |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) |
| इकाई वेक्टर | â = a/|a| |
| दिक्-कोसाइन | l = a₁/|a|, m = a₂/|a|, n = a₃/|a|, और l² + m² + n² = 1 |
| विभाजन सूत्र (आंतरिक, m : n) | r = (mb + na)/(m + n) |
| मध्य-बिंदु | r = (a + b)/2 |
| संरेख बिंदु A, B, C | किसी अदिश λ के लिए AB = λ AC |
डॉट प्रोडक्ट
| उपयोग | सूत्र |
|---|---|
| परिभाषा | a · b = |a| |b| cos θ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ |
| दो वेक्टरों के बीच का कोण | cos θ = (a · b)/(|a| |b|) |
| लंबवत वेक्टर | a · b = 0 |
| b पर a का प्रक्षेप | (a · b)/|b| |
| कार्य | W = F · d |
क्रॉस प्रोडक्ट
| उपयोग | सूत्र |
|---|---|
| परिमाण | |a × b| = |a| |b| sin θ |
| क्रम मायने रखता है | a × b = −(b × a) |
| समांतर वेक्टर | a × b = 0 |
| a और b दोनों पर लंब इकाई वेक्टर | ±(a × b)/|a × b| |
| समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (भुजाएँ a, b) | |a × b| |
| समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल (विकर्ण d₁, d₂) | ½ |d₁ × d₂| |
| त्रिभुज का क्षेत्रफल | ½ |a × b| |
| लैग्रांज सर्वसमिका | |a × b|² = |a|²|b|² − (a · b)² |
a × b = determinant with rows (î, ĵ, k̂), (a₁, a₂, a₃), (b₁, b₂, b₃) = (a₂b₃ − a₃b₂) î − (a₁b₃ − a₃b₁) ĵ + (a₁b₂ − a₂b₁) k̂
ट्रिपल प्रोडक्ट
| उपयोग | सूत्र |
|---|---|
| अदिश त्रिगुणन (scalar triple product) | [a b c] = a · (b × c), तीनों वेक्टरों के घटकों का सारणिक |
| चक्रीय नियम | [a b c] = [b c a] = [c a b] = −[b a c] |
| दोहराया वेक्टर | [a a b] = 0 |
| समांतर षटफलक का आयतन | |[a b c]| |
| चतुष्फलक का आयतन | (1/6) |[a b c]| |
| समतलीय वेक्टर | [a b c] = 0 |
| सदिश त्रिगुणन (vector triple product) | a × (b × c) = (a · c) b − (a · b) c |
हल किया उदाहरण
a = i + 2j + 3k और b = 3i − j + 2k से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालें।
a × b = i(2·2 − 3·(−1)) − j(1·2 − 3·3) + k(1·(−1) − 2·3) = 7i + 7j − 7k।
क्षेत्रफल = |a × b| = 7√3 वर्ग इकाई। लैग्रांज सर्वसमिका से जाँच: |a|² = 14, |b|² = 14 और a · b = 3 − 2 + 6 = 7, इसलिए 14 × 14 − 49 = 147 = (7√3)²।
तीन गलतियाँ जो अंक काटती हैं
- सदिश त्रिगुणन में कोष्ठक खिसकाना। a × (b × c) और (a × b) × c बराबर नहीं हैं। हर एक को उसके अपने सूत्र से खोलें।
- प्रक्षेप और घटक में उलझना। b पर a का प्रक्षेप एक संख्या है, (a · b)/|b|। घटक वेक्टर इस संख्या को इकाई वेक्टर b̂ से गुणा करके मिलता है।
- ± भूल जाना। "दोनों पर लंब इकाई वेक्टर" वाले सवाल के दो उत्तर होते हैं, ±(a × b)/|a × b|।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
JEE Main में वेक्टर से कितने सवाल आते हैं? आमतौर पर एक या दो, अक्सर 3D ज्यामिति के साथ जुड़े हुए।
अदिश त्रिगुणन का उपयोग कब करें? आयतन निकालने में, और यह जाँचने में कि तीन वेक्टर (या चार बिंदु) समतलीय हैं या नहीं।
क्या ट्रिपल प्रोडक्ट कक्षा 12 CBSE सिलेबस में हैं? वर्तमान CBSE सिलेबस डॉट और क्रॉस प्रोडक्ट पर केंद्रित है, इसलिए बोर्ड परीक्षा के लिए नया CBSE सिलेबस देखें। JEE Main में दोनों ट्रिपल प्रोडक्ट आते हैं, इसलिए JEE के लिए इन्हें ज़रूर याद करें।
प्रमाण, गीता भवन चौराहा, इंदौर में ज़्यादा से ज़्यादा 40 छात्रों की बैच में हर हफ़्ते टेस्ट के साथ वेक्टर का अभ्यास करें। हमारा IIT JEE प्रोग्राम देखें या मुफ़्त काउंसलिंग बुक करें।
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