लेखक: कुमार सर, फ़िज़िक्स फैकल्टी, प्रमाण इंस्टिट्यूट (IIT कानपुर, 25 साल का अनुभव, पूर्व Allen)
हर साल JEE Main और NEET में कम से कम एक सवाल ऐसा आता है जिसमें किसी गैस का Cv, Cp या γ चाहिए। ज़्यादातर छात्र मानों की टेबल रट लेते हैं, फिर जब सवाल दो गैसों को मिला देता है या "रैखिक त्रिपरमाणुक" कहता है, तो घबरा जाते हैं। अगर आपको सिर्फ़ एक संख्या, यानी डिग्री ऑफ़ फ़्रीडम f, पता है, तो तीनों मान आप मन में ही लिख सकते हैं।
एक संख्या काफ़ी क्यों है
ऊर्जा के समविभाजन नियम के अनुसार हर डिग्री ऑफ़ फ़्रीडम में प्रति अणु ½kT, या प्रति मोल ½RT ऊर्जा होती है। इसलिए n मोल की आंतरिक ऊर्जा f से तय होती है, और बाकी सब कुछ उसी से निकलता है।
U = (f/2) nRT Cv = (f/2) R Cp = Cv + R = (f/2 + 1) R γ = Cp/Cv = 1 + 2/f
ट्रिक: पहले f निकालें
स्थानांतरण (translation) के 3 गिनें, फिर घूर्णन (rotation) जोड़ें। कंपन (vibration) तब तक न गिनें जब तक सवाल न कहे।
| गैस का प्रकार | उदाहरण | f | Cv | Cp | γ |
|---|---|---|---|---|---|
| एकपरमाणुक | He, Ne, Ar | 3 | 3R/2 | 5R/2 | 5/3 ≈ 1.67 |
| द्विपरमाणुक या रैखिक (दृढ़) | O₂, N₂, CO₂ | 5 | 5R/2 | 7R/2 | 7/5 = 1.4 |
| अरैखिक बहुपरमाणुक (दृढ़) | H₂O, NH₃, CH₄ | 6 | 3R | 4R | 4/3 ≈ 1.33 |
CO₂ वाली गलती: CO₂ में तीन परमाणु हैं, पर यह रैखिक है, इसलिए सिर्फ़ दो अक्षों पर घूमता है। दृढ़ मानने पर f = 5 और γ = 1.4, बिल्कुल द्विपरमाणुक गैस जैसा, 4/3 नहीं।
उदाहरण 1: आंतरिक ऊर्जा
300 K पर 2 mol N₂ की आंतरिक ऊर्जा निकालें (R = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹)।
N₂ द्विपरमाणुक है, इसलिए f = 5। U = (5/2) × 2 × 8.314 × 300 = 12,471 J ≈ 12.5 kJ।
उदाहरण 2: मिश्रण का γ
मिश्रण के लिए हर गैस का Cv योगदान जोड़ें। चूँकि Cv = R/(γ − 1), इससे एक लाइन का नियम मिलता है:
(n₁ + n₂)/(γmix − 1) = n₁/(γ₁ − 1) + n₂/(γ₂ − 1)
1 mol He (γ = 5/3) और 1 mol O₂ (γ = 7/5) के लिए: 1/(2/3) + 1/(2/5) = 1.5 + 2.5 = 4। तो 2/(γ − 1) = 4, यानी γ = 1.5।
जाँच: Cv = (1.5R + 2.5R)/2 = 2R, Cp = 3R, और γ = 3R/2R = 1.5।
ट्रिक में कब सावधान रहें
- "उच्च ताप पर" या "कंपन शामिल करें": हर कंपन मोड f में 2 जोड़ता है (गतिज और स्थितिज ऊर्जा)। तब द्विपरमाणुक गैस के लिए f = 7, Cv = 7R/2 और γ = 9/7।
- वास्तविक गैसें: ये परिणाम आदर्श गैस के लिए हैं। JEE और NEET में, जब तक कुछ और न कहा जाए, गैस को आदर्श माना जाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
द्विपरमाणुक गैस का γ क्या है? 7/5 = 1.4, अगर अणु को बिना कंपन के दृढ़ माना जाए।
CO₂ के 5 डिग्री ऑफ़ फ़्रीडम क्यों हैं? यह रैखिक है, इसलिए अपनी ही अक्ष पर घूर्णन नहीं गिना जाता। बचते हैं 3 स्थानांतरीय और 2 घूर्णीय।
क्या हर आदर्श गैस के लिए Cp − Cv = R है? हाँ। मायर संबंध हर आदर्श गैस पर प्रति मोल लागू होता है।
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