लेखक: अभिषेक जायसवाल, गणित फैकल्टी, प्रमाण इंस्टिट्यूट (IIT रुड़की, JEE पढ़ाने का 18 साल का अनुभव)
डेफ़िनिट इंटीग्रेशन JEE Main के सबसे ज़्यादा अंक देने वाले चैप्टरों में से है, और इसके कई सवाल ऐसे बनाए जाते हैं कि प्रतिअवकलज निकालने की ज़रूरत ही न पड़े। सीधे इंटीग्रेट करने की कोशिश में दस मिनट चले जाते हैं। एक गुणधर्म, जिसे छात्र King property कहते हैं, इन्हें दो लाइन का सवाल बना देता है। इसे कब लगाना है, यह पहचानना सीख लें, तो ये पेपर के सबसे आसान अंक बन जाते हैं।
गुणधर्म
∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(a + b − x) dx, and with a = 0: ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx
यह सही क्यों है: t = a + b − x रखें। तब dt = −dx, और सीमाएँ a और b आपस में बदल जाती हैं, जिससे ऋण चिह्न कट जाता है।
तीन कदम की ट्रिक
- इंटीग्रल को I कहें।
- x की जगह (a + b − x) रखकर I का दूसरा रूप लिखें।
- दोनों रूप जोड़ें। अगर समाकल्य सरल हो जाए (अक्सर एक अचर), तो 2I एक लाइन में मिल जाता है।
उदाहरण 1: प्रसिद्ध अनुपात
I = ∫₀^(π/2) sinⁿx / (sinⁿx + cosⁿx) dx
x की जगह π/2 − x रखने पर sin और cos आपस में बदल जाते हैं, तो I = ∫ cosⁿ x/(cosⁿ x + sinⁿ x) dx। दोनों को जोड़ने पर 2I = ∫₀^{π/2} 1 dx = π/2, यानी हर n के लिए I = π/4।
उदाहरण 2: वर्गमूल
I = ∫₂³ √x / (√x + √(5 − x)) dx
यहाँ a + b = 5। x की जगह 5 − x रखने पर √(5 − x)/(√(5 − x) + √x) मिलता है। जोड़ने पर 2I = ∫₂³ 1 dx = 1, यानी I = 1/2।
उदाहरण 3: x गुणा sin x का फलन
I = ∫₀^π x sin x / (1 + cos²x) dx
x की जगह π − x रखें: sin x और cos²x वैसे ही रहते हैं, तो I = ∫ (π − x) sin x/(1 + cos²x) dx। जोड़ने पर 2I = π ∫₀^π sin x/(1 + cos²x) dx। t = cos x रखने पर यह π ∫₋₁¹ dt/(1 + t²) = π × π/2 है। इसलिए I = π²/4।
एक लाइन का बोनस
∫₀^{π/2} log(tan x) dx = 0, क्योंकि King property log(tan x) को log(cot x) = −log(tan x) में बदल देती है, यानी I = −I।
King property कब लगाएँ
- समाकल्य f(x)/(f(x) + f(a + b − x)) जैसा अनुपात हो।
- सीमाएँ 0 से π/2 या 0 से π हों, और समाकल्य में sin और cos (या tan और cot) हों।
- कोई अकेला x ऐसे फलन से गुणा हो जो x के (a + b − x) बनने पर नहीं बदलता।
अगर बदलने के बाद समाकल्य किसी बिल्कुल अलग चीज़ में बदल जाए, तो यह ट्रिक मदद नहीं करेगी। तब सामान्य तरह से प्रतिस्थापन या खंडशः समाकलन लगाएँ।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
इसे King property क्यों कहते हैं? JEE में यह डेफ़िनिट इंटीग्रल का सबसे ज़्यादा इस्तेमाल होने वाला गुणधर्म है। "King" कोचिंग में दिया गया नाम है, किताबी शब्द नहीं।
क्या यह NCERT कक्षा 12 में है? हाँ। यह NCERT कक्षा 12 के समाकलन चैप्टर में डेफ़िनिट इंटीग्रल के गुणधर्मों में है, इसलिए बोर्ड के लिए भी काम का है।
क्या यह अनिश्चित समाकल पर लागू होती है? नहीं। यह सीमाओं पर निर्भर करती है, इसलिए सिर्फ़ डेफ़िनिट इंटीग्रल पर लागू होती है।
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